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2DE : ACQUISITION ET TRAITEMENT DE DONNÉES

dimanche 24 janvier 2021, par Oscillo&Becher


ACQUISITION ET TRAITEMENT DE DONNÉES

ACQUISITION ET TRAITEMENT DE DONNÉES
Exemple de mises à l’épreuve des lois de Snell-Descartes sur la réflexion et la réfraction

Acquisition de données

« Lois de Snell-Descartes »

Un peu d’histoire des sciences :

  • Le phénomène de réflexion est connu depuis l’Antiquité. Celui de réfraction est mis en évidence pa l’astronome allemand J. Kepler au XVIIème siècle.

kepler.png

Figure 1 : Johannes Kepler (1571-1630)

  • En 1620, le physicien néerlandais W. Snell établit expérimentalement une relation entre l’angle d’incidence 1 et l’angle de réfraction 2.

snell.png

Figure 2 : Willebrord Snell (1580-1626)

  • En 1637, le physicien R. Descartes en publie une démonstration dans son ouvrage le « Discours de la méthode ». Toujours valables aujourd’hui, ces lois indiquent une égalité des angles d’incidence et de réflexion 3 et une relation de proportionnalité entre le sinus de l’angle d’incidence et celui de l’angle de réfraction.

descartes.png

Figure 3 : René Descartes (1596-1650)

Énoncé mathématique des lois de Snell-Descartes :

  • Pour la réflexion : \(i_{1} = r\)
  • Pour la réfraction : \(sin(i_{1}) = k \times sin(i_{2})\)

Mettons ces lois à l’épreuve de résulats expérimentaux

Protocole

hemicylindre123jaune.png

Matériel :

  • Pour donner naissance au rayon incident « 1 » : Lanterne 12V munie d’un diaphragme en fente étroite permettant d’isoler le plus fin pinceau de lumière blanche possible.
  • Un hémicylindre (demi cylindre) de plexiglas posé sur un rapporteur. On fera en sorte que la normale passe par les origines 0-0 du rapporteur
  • I : Point d’incidence (« au milieu » de la face plane du demi cylindre) sera systématiquement visé, en changeant néanmoins d’angle d’incidence \(i_{1}\), pour noter la valeur correspondante de l’angle de réfraction \(i_{2}\) et celle de l’angle de réflexion \(r\)

Résultats expérimentaux bruts (donc non exempts d’erreurs éventuelles)

donnees1.png

Mises à l’épreuve des lois de Snell-Descartes

  • La comparaison des deux premières colonnes du tableau permet de valider la loi \(i_{1} = r\) (Loi concernant la réflexion)
  • Pour poursuivre avec la loi concernant la réfraction \(sin(i_{1}) = k \times sin(i_{2})\), il faut calculer les sinus des angles d’incidente \(i_{1}\) et de réfraction \(i_{2}\) :

    donnees2.png

  • Rappel mathématique :
    • Si une grandeur \(y\) est proportionnelle à une grandeur \(x\), alors la fonction qui associe \(x\) à \(y\) est une fonction linéaire \(y = ax\).
    • La représentation graphique de cette fonction est une droite qui passe par l’origine de repère, d’équation \(y = ax\), de coefficient directeur \(a\).

    Pour (in)valider \(sin(i_{1}) = k \times sin(i_{2})\), représentons, à l’aide d’un tableur-grapheur (comme Graphical Analysis) \(sin(i_{1})\) = \(f(sin(i_{2}))\) :

    graphical1.png

    Figure 7 : Les points issus des données expérimentales s’alignent quasiment sur une droite passant par l’origine du repère.

    • Le tableur nous propose « d’appliquer une régression » c’est à dire de choisir un « modèle mathématique », ici :

    graphical2.png

    Le modèle linéaire est convaincant, nous pouvons donc valider la proportionnalité entre le sinus de l’angle d’incidence et celui de l’angle de réfraction c’est à dire \(sin(i_{1}) = k \times sin(i_{2})\) ou, comme le grapheur le propose \(sin(i_{1}) = a \times sin(i_{2})\).

    19 déterminations faites dans les mêmes conditions donnent les 19 résultats de coefficient directeur suivants : 1.46, 1.43, 1.44, 1.50, 1.49, 1.49, 1.53, 1.52, 1.51, 1.53, 1.55, 1.47, 1.45, 1.46, 1.40, 1.50, 1.50, 1.50, 1.48

Énoncé précis de la loi de Snell-Descartes concernant la réfraction

L’énoncé plus détaillé de la loi de Snell-Descartes concernant la réfraction est

\begin{align} n_{1}\times sin(i_{1}) = n_{2}\times sin(i_{2}) \end{align}

\(n_{1}\) et \(n_{2}\) étant les indices de réfraction 4 respectifs des milieux 1 et 2.

Détermination expérimentale de l’indice de réfraction du plexiglas

  • Sachant que l’indice de réfraction de l’air \(n_{air}\) vaut 1,0, \(n_{1}\times sin(i_{1}) = n_{2}\times sin(i_{2})\) devient \(sin(i_{1}) = n_{2}\times sin(i_{2})\) que nous pouvons comparer à l’équation de la droite obtenue précédemment \(sin(i_{1}) = a \times sin(i_{2})\).
  • Par identification de « \(sin(i_{1}) = n_{2}\times sin(i_{2})\) » et « \(sin(i_{1}) = a \times sin(i_{2})\) », on déduit que \(n_{2}\) = a.
  • Nous avons donc 19 évaluations de l’indice de réfraction \(n_{2}\) = \(n_{plexi}\) du plexiglas : 1.46, 1.43, 1.44, 1.50, 1.49, 1.49, 1.53, 1.52, 1.51, 1.53, 1.55, 1.47, 1.45, 1.46, 1.40, 1.50, 1.50, 1.50, 1.48. C’est cette ensemble de 19 valeurs que nous allons traiter.

Mesure et incertitudes

  • Prenons donc le cas d’un groupe de 19 expérimentateurs qui, avec protocole et matériel semblables, obtiennent les 19 valeurs suivantes : 1.46, 1.43, 1.44, 1.50, 1.49, 1.49, 1.53, 1.52, 1.51, 1.53, 1.55, 1.47, 1.45, 1.46, 1.40, 1.50, 1.50, 1.50, 1.48 (Nombre de mesures n = 19)
  • On n’obtient donc pas 19 fois une « vraie valeur exacte ».
  • Celle-ci sera seulement approchée, le mieux possible, avec une incertitude u que nous évaluerons.
  • L’incertitude-type u fournit une estimation de l’étendue des valeurs que l’on peut raisonnablement attribuer à la grandeur G.
  • D’une manière générale, on pourra noter le résultat d’une grandeur mesurée G :

G = \(\bar{g}\) \(\pm\) u(G)

ce qui est équivalent à

\(\bar{g}\) - u(G) \(\le\) G \(\le\) \(\bar{g}\) + u(G)

  • On peut déterminer l’incertitude-type u(G) = \(\frac{s}{\sqrt{n}}\)
    • avec :
      • s : écart-type échantillon
      • n : nombre de mesures faites dans les mêmes conditions.
  • Une fois calculée, l’incertitude est majorée à un seul chiffre siignificatif.

Traitement des données

Traitement des données avec une calculatrice : Exemple de Numworks

Numworks01Menu.jpg

Figure 9 : À partir du menu principal, choisir « statistiques »

Numworks02EntreeDonnees.jpg

Figure 10 : Entrer les données (ici les 19 valeurs mesurées de l’indice de réfraction \(n_{plexi}\) du plexiglas), jusqu’à la dernière

Numworks03DebutListeDonnees.jpg

Figure 11 : Remonter jusqu’aux premières valeurs entrées

Numworks04EnteteDonnees.jpg

Figure 12 : … puis remonter jusqu’à l’entête

Numworks05MenuStatsDebut.jpg

Figure 13 : Toujours avec les flèches de déplacement, atteindre l’entête de la dernière colonne « Stats », on obtient le nombre n de valeurs mesurées, la moyenne notée \(\bar{n}_{plexi}\), …

Numworks06MenuStatsFin.jpg

Figure 14 : … puis l’écart-type échantillon s (dernier résultat dans la colonne « Stats »)

Numworks07Histo.jpg

Figure 15 : Encore avec les flèches de déplacement, atteindre le menu « Histogramme » qui permet d’aprécier la dispersion des résultats, et l’effectif de chacun des intervalles. Ex : Sur les 19 valeurs, 5 se trouvent entre 1,50 et 1,52.

  • Évaluons l’incertitude-type : \(u(n_{plexi})\) = \(\frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{0,03805966}{\sqrt{19}}\) = 0,0087314848
  • Nous arrondirons ce résultat en le majorant à u = 0,01 (1 seul chiffre significatif)
  • Le résultat de notre évaluation de l’indice de réfraction du plexiglas sera donc

\(n_{plexi} = \bar{n}_{plexi}\) \(\pm\) u = 1,49 \(\pm\) 0,01.

Vitesse de la lumière dans le plexiglas. Indice de réfraction. Valeur de référence

  • Dans le vide, la vitesse de propagation de la lumière est égale à \(C = 3,00 \times 10^{8}\) \(m.s^{-1}\).
  • Dans le plexiglas, la vitesse de propagation de la lumière est égale à \(v = 2,00 \times 10^{8}\) \(m.s^{-1}\).
  • L’indice de réfraction n d’un milieu transparent est défini par :
\begin{align} n = \frac{C}{v} \end{align}
  • Pour le plexiglas, on a donc \(n = \frac{C}{v} = \frac{3,00 \times 10^{8}}{2,00 \times 10^{8}}\) = 1,50
  • Prenons cette valeur comme valeur de référence, \(n_{ref}\) = 1,50.

Comparaison de la détermination expérimentale avec la valeur de référence

  • Détermination de la valeur expérimentale de l’indice de réfraction :
    • \(n_{plexi} = \bar{n}_{plexi}\) \(\pm\) u = 1,49 \(\pm\) 0,01 c’est à dire \(1,49 - 0,01 \le n_{plexi} \le 1,49 + 0,01\)
    • soit \(1,48 \le n_{plexi} \le 1,50\)
  • Nous constatons que l’encadrement précédent contient la valeur de référence \(n_{ref}\) = 1,50. On dit qu’il y a compatibilité entre de le résultat de la mesure \(n_{plexi}\) et la valeur de référence.

Utilisation du langage Python pour le traitement des données

  • Un programme écrit dans un langage est un texte qui sera interprété pour être exécuté.
  • L’extension « .py », qui termine le nom d’un fichier, caractérise un programme en langage Python

Code source : Détermination de la moyenne, de l’écar-type et de l’incertitude échantillon d’une série de mesures

import math
import statistics
from statistics import stdev
data = [1.46,1.43,1.44,1.50,1.49,1.49,1.53,1.52,1.51,1.53,1.55,1.47,1.45,1.46,1.40,1.50,1.50,1.50,1.48]
moyenne=statistics.mean(data)
print(moyenne)
ecartype=stdev(data)
print(ecartype)
N=len(data)
incertitudetype=ecartype/math.sqrt(N)
print(incertitudetype)
  1. Faire un copier-coller du programme précédent vers un éditeur python en ligne comme
  2. Exécuter le programme et comparer les 3 résultats obtenus avec ceux de Numworks. Quel avantage voyez-vous dans la programmation Python ?
  3. Mises à part les trois premières lignes, commenter l’intérêt, le rôle des lignes du code précédent. (« data » signfie « données », la fonction len() renvoie le nombre des éléments (ou la longueur) d’un ensemble (ou d’un objet), la fonction math.sqrt() renvoie la racine carrée d’un nombre).

Code source : Histogramme des valeurs de l’indice de réfraction \(n_{plexi}\) obtenues expérimentalement

import matplotlib.pyplot as plt
data = [1.46,1.43,1.44,1.50,1.49,1.49,1.53,1.52,1.51,1.53,1.55,1.47,1.45,1.46,1.40,1.50,1.50,1.50,1.48]
plt.hist(data, bins=7, facecolor="green", rwidth=0.95)
plt.title('Mesures', fontsize=10)
plt.show()
  1. Faire un copier-coller du programme précédent vers un éditeur python en ligne comme

Notes de bas de page:

1

Angle d’incidence \(i_{1}\): angle formé par le rayon incident et la normale, la normale étant une droite imaginaire perpendiculaire à la surface de séparation entre les deux milieux.

2

Angle de réfraction \(i_{2}\) : angle formé par le rayon réfracté et la normale.

3

Angle de réflexion r : angle formé par le rayon réfléchi et la normale.

4

Indice de réfraction n : grandeur sans unité, caractéristique d’un milieu transparent.

Created: 2021-01-25 lun. 20:31

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