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LA FORCE GRAVITATIONNELLE (version avec correction)

mercredi 26 février 2020, par Oscillo&Becher


Activité "La force gravitationnelle"

Activité "La force gravitationnelle"

Introduction

Précédemment, grâce à la vidéo "Newton et la gravitation" et au texte tiré du site de JP luminet, nous avons vu que Newton pressentait deux paramètres pertinents dans l'étude de la chute d'un corps : Voir les deux extraits suivants :

  • "… Et si la matière attire ainsi la matière, cela doit être en proportion de sa quantité …"
  • " … le pouvoir de la gravité (qui faisait tomber la pomme de l’arbre vers le sol) ne se limitait pas à une certaine distance de la surface terrestre, mais qu’il devait s’étendre beaucoup plus loin …"

Document 1 "Philosophiae naturalis principia mathematica" d'Isaac Newton

"Principes mathématiques de la philosophie naturelle",est l'œuvre maîtresse d'Isaac Newton, publiée à Londres en 1687. C'est la troisième édition latine, de 1726, dont le texte aura été enrichi une dernière fois par Newton, qui est généralement considérée comme référence.

Extrait 1 :

  • "Tous les corps gravitent vers chaque planète, et sur la même planète, leurs poids, à égale distance du centre, sont proportionnels à la quantité de matière que chacun d'eux [corps et planète] contient"

Extrait 2 :

  • Deux sphères … s'attirent réciproquement avec des forces qui sont en raison renversée 1 du carré des distances de leurs centres."
  1. Montrer la cohérence de ces extraits 1 et 2 avec les extraits rappelés en introduction, quels sont les deux paramètres cités ?

Correction

Document 2 "Expression de la valeur de la force de gravitation"

Les travaux de Newton ont permis d'exprimer la valeur commune des forces de gravitation \(\overrightarrow{F_{A/B}}\) et \(\overrightarrow{F_{B/A}}\) :

\begin{align} F_{A/B} = G.\frac{m_{A}.m_{B}}{d^{2}} \end{align}
  • pour deux corps A et B :
    • de masses \(m_{A}\) et \(m_{B}\) exprimées en kg
    • dont le centre de gravité \(G_{A}\) et \(G_{B}\) sont distants d'une distance d exprimée en m.
  • G est une constante appelée "constante de gravitation universelle" : G = \(6,67 \times 10^{-11}\) \(N.m^{2}.kg^{-2}\)
  1. Montrer la cohérence de l'expression de \(F_{A/B}\) (et donc de celle de \(F_{B/A}\)) avec les extraits 1 et 2 cités plus haut.

Correction

"Cas de la Lune, satellite naturel de la Terre"

La Lune est un satellite naturel de la Terre qui gravite autour d'elle car la Terre et la Lune exercent mutuellement l'une sur l'autre une attraction gravitationnelle.

TerreLune.png

"Représentation et données"

SchemTerreLune.png

La Terre est représentée par le point T et la Lune par le point L.

  • Masse de la Terre \(M_{T}\) = \(5,97 \times 10^{24}\) kg
  • Masse de la Lune \(M_{L}\) = \(7,35 \times 10^{22}\) kg
  • Distance entre T et L : d = \(3,84 \times 10^{5}\) km
  • Échelle du vecteur force : 1 cm représente \(1,0 \times 10^{20}\) N
  1. Calculer la valeur \(F_{Terre/Lune}\) de la force \(\overrightarrow{F_{Terre/Lune}}\).
  1. Représenter
    • au point L, la force \(\overrightarrow{F_{Terre/Lune}}\).
    • au point T, la force \(\overrightarrow{F_{Lune/Terre}}\).

correction après réflexion

  1. Montrer que l'interaction gravitationnelle Terre-Lune est une illustration du principe des actions réciproques.

correction après réflexion

"Expression vectorielle d'une force de gravitation"

Si, dans la représentation de la question 4, sur la droite (TL), on plaçait un vecteur unitaire 2 \(\overrightarrow{u_{1}}\) dirigé dans le sens de L vers T, on pourrait écrire :

\begin{align} \overrightarrow{F_{Terre/Lune}} = G.\frac{m_{A}.m_{B}}{d^{2}}. \overrightarrow{u_{1}} \end{align}

Si, dans la représentation de la question 4, sur la droite (TL), on plaçait un vecteur unitaire \(\overrightarrow{u_{2}}\) dirigé dans le sens de T vers L, on pourrait écrire :

\begin{align} \overrightarrow{F_{Lune/Terre}} = G.\frac{m_{A}.m_{B}}{d^{2}}. \overrightarrow{u_{2}} \end{align}
  1. Comment modifier l'expression si on veut \(\overrightarrow{F_{Lune/Terre}}\) en fonction de \(\overrightarrow{u_{1}}\) ? (Aide : Bas de page 198)

correction après réflexion

"Cas de satellites terrestres artificiels"

Pour un satellite de masse m situé à une altitude h de la surface de la Terre :

Satelliteb.png

On a alors :

\begin{align} \overrightarrow{F_{Terre/S}} = G.\frac{m.M_{T}}{(R_{T} + h)^{2}}. \overrightarrow{u} \end{align}

avec

  • \(R_{T}\) : Rayon de la Terre en m
  • h : altitude du satellite en m

Éléments de correction

Correction de la question 1

Les deux paramètres cités sont

  • les masses \(m_{a}\) et \(m_{B}\) des deux corps A et B en présence.
  • la distance d entre les centres de gravité de A et B.

Correction de la question 2

Dans l'expression \(F_{A/B} = G.\frac{m_{A}.m_{B}}{d^{2}}\)

On retrouve

  • pour deux corps A et B :
    • les masses \(m_{A}\) et \(m_{B}\) exprimées en kg, au numérateur de l'expression (1) : la valeur de la force gravitationnelle \(F_{A/B}\) (= \(F_{B/A}\)) est bien proportionnelle aux masses \(m_{A}\) et \(m_{B}\).
    • la distance d (exprimée en m) entre les centres de gravité \(G_{A}\) et \(G_{B}\) de A et B, avec \(d^{2}\) au dénominateur de l'expression (1) : la valeur de la force gravitationnelle \(F_{A/B}\) (= \(F_{B/A}\)) est bien inversement proportionnelle au carré de la distance d entre les centres de gravité de A et B.

Correction de la question 3

\(F_{Terre/Lune} = F_{Lune/Terre} = G \times \frac{M_{T} \times M_{L}}{d^{2}}\)

  • Masse de la Terre \(M_{T}\) = \(5,97 \times 10^{24}\) kg
  • Masse de la Lune \(M_{L}\) = \(7,35 \times 10^{22}\) kg
  • Distance entre T et L : d = \(3,84 \times 10^{5}\) km = \(3,84 \times 10^{8}\) m. Ne pas oublier de convertir d en mètres !

\(F_{Terre/Lune} = F_{Lune/Terre} = 6,67 \times 10^{-11} \times \frac{5,97 \times 10^{24} \times 7,35 \times 10^{22}}{(3,84 \times 10^{8})^{2}}\) = \(1,98 \times 10^{20}\) N.

Correction de la question 4

Nous constatons que la valeur de la force de gravitation \(F_{Terre/Lune}\) (\(= F_{Lune/Terre}\) est très proche de \(2,0 \times 10^{20}\) N.

L'échelle proposée est 1 cm pour \(1,0 \times 10^{20}\) N

Les vecteurs-forces auront donc une longueur de 2 cm pour représenter \(2,0 \times 10^{20}\) N

Act3TerreLuneCor.png

Correction de la question 5

On a \(\overrightarrow{F_{Terre/Lune}}\) = - \(\overrightarrow{F_{Lune/Terre}}\), ce qui illustre le principe des actions réciproques :

Les forces \(\overrightarrow{F_{Terre/Lune}}\) et \(\overrightarrow{F_{Lune/Terre}}\) ont :

  • même direction
  • sens contraires
  • même valeur

Correction de la question 6

\(\overrightarrow{F_{Lune/Terre}} = G.\frac{m_{A}.m_{B}}{d^{2}}. \overrightarrow{u_{2}} = - G.\frac{m_{A}.m_{B}}{d^{2}}. \overrightarrow{u_{1}}\)

Notes de bas de page:

1

"en raison renversée du" se dirait maintenant "inversement proportionnelles au"

2

vecteur unitaire : vecteur de norme 1.

Created: 2020-02-26 mer. 17:51

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