DÉTECTION ET HABITABILITÉ D’UNE EXOPLANÈTE

Ci-dessous : extrait de l’ex II BAC S Amérique du Nord 2016 (voir texte entier en fichier pdf téléchargeable plus bas, en fin d’article)

Pour commencer : L’effet Dopler de manière générale

Puis, L’effet Doppler-Fizeau

Illustration du principe de détection par vélocimétrie

11. La vitesse de déplacement v du système {étoile-planète} par rapport à la Terre est donnée par la relation :

$\frac{\Delta \lambda}{\lambda} = \frac{v}{C}$ avec $\Delta\lambda = \lambda - \lambda_{mesuree}$,

on obtient donc : $v = C\times \frac{\lambda - \lambda_{mesuree}}{\lambda}$

Or c et $\lambda$ = 658,2 nm sont des constantes donc v dépend du décalage spectral $\Delta\lambda = \lambda - \lambda_{mesuree}$.

On a, ici, une illustration de l'effet Doppler : Lorsque un émetteur et un récepteur d'ondes sont en mouvement relatif de vitesse v, on constate un décalage de fréquence f (donc de longueur d'onde $\lambda = \frac{c}{f}$, c étant la célérité des ondes (ici : électromagnétiques)

Pour tracer le graphe du doc.2, les chercheurs ont suivi la démarche suivante :

• ils enregistrent le spectre de raies de l'étoile au cours de plusieurs nuits ; 

  

  À la périphérie de la photosphère, il existe une atmosphère constituée d'un gaz sous faible pression. C'est dans cette partie de l'étoile que certaines radiations sont absorbées par les éléments chimiques présents. Le spectre de la lumière émise par une étoile est donc un spectre d'absorption : présence de raies noires comme celle, ici, de longueur d'onde $\lambda$ = 658,2 nm.

• ils mesurent le décalage spectral $\Delta\lambda = \lambda - \lambda_{mesuree}$ entre la longueur d'onde mesurée $\lambda_{mesuree}$ et la longueur d'onde de référence $\lambda$ = 658,2 nm ; 

  

• ils en déduisent la vitesse v du système {étoile-planète} avec $v = C\times \frac{\lambda - \lambda_{mesuree}}{\lambda}$.

12. Soit T la période de révolution de l'étoile autour du centre de gravité G du système.

Sur le doc. 2 :

En 2454310 - 2454300 = 10 jours, on mesure 4,5.T soit :

4,5T = 10 jours d'où  T = $\frac{10}{4.5}$ = 2,22 jours

soit  T =  $2,22\times 24\times 3600$ s = $1,9\times 10^{5}$ s.

L'exoplanète possède la même période de révolution que l'étoile comme l'indique le document 1.

13. Le graphe du doc.2 étant une sinusoïde, la trajectoire de la planète autour du centre de gravité G est un cercle.

14. On suppose que le centre de gravité du système est confondu avec le centre de l'étoile. La trajectoire de l'exoplanète est un cercle.

Utilisons la deuxième loi de Kepler :

"Le rayon vecteur étoile-exoplanète, orienté de l'étoile vers l'exoplanète, balaye des surfaces égales pendant des intervalles de temps égaux".

Dans le cas général d'un mouvement elliptique, la vitesse d'une planète est donc plus grande lorsque la planète se rapproche de son Soleil. Elle est maximale au voisinage du rayon le plus court (périhélie), et minimale au voisinage du rayon le plus grand (aphélie)

Mais ici, le mouvement étant circulaire (le cercle est une ellipse d'excentricité e nulle), on a, d'après la loi des aires, un mouvement uniforme : Mouvement circulaire uniforme

Habitabilité de l'exoplanète du système HD 189733

21. Troisième loi de Kepler : Le carré de la période de révolution T est proportionnel au cube du demi grand axe a de l'ellipse :

$\frac{T^{2}}{a^{3}} = k$ = cste pour tous les satellites d'un même astre.

Dans le cas d'une orbite circulaire, le carré de la période de révolution T est proportionnel au cube du rayon R du cercle, soit :

$\frac{T^{2}}{R^{3}} = k$ = cste pour tous les satellites d'un même astre.

22. La 2ème loi de Newton appliquée au système {exoplanète}, dans le référentiel de l'étoile supposé galiléen indique :

$\Sigma \vec{f} = \frac{d\vec{p}}{dt}$ ou, puisque la masse de l'exoplanète m = cste,

$\Sigma \vec{f} = m \vec{a}$

En considérant que l'exoplanète n'est soumise qu'à la force d'attraction gravitationnelle $\vec{F}$ de l'étoile,

$\vec{F} = G \times \frac{M\times m}{R^{2}} \vec{N}$

avec

• $\vec{N}$ : vecteur unitaire centripète du repère de Frenet.

• M : masse de l'étoile HD 189733 autour de laquelle tourne l'exoplanète

• m : masse de l'exoplanète

• r : rayon de l'orbite circulaire de l'exoplanète

on a donc :

$G\times \frac{M\times m}{R^{2}} \vec{N} = m \vec{a}$ d'où $\vec{a} $ = $G\times \frac{M}{R^{2}} \vec{N}$ (1)

Or, d'une manière générale, pour un mouvement circulaire : $\vec{a} = \frac{dv}{dt} \vec{T} + \frac{v^{2}}{R} \vec{N}$ (2)

Par identification de (1) et de (2), on constate que :

• d'une part : $\frac{dv}{dt}$ = 0 : Mouvement circulaire uniforme

On montre que la valeur de la vitesse de l'exoplanète est constante donc le mouvement est uniforme. Cette méthode aurait pu être utilisée à la question 1.4.

• d'autre part : $G\times \frac{M}{R^{2}}$ = $\frac{v^{2}}{R} $

d'où, l'expression de la valeur cste v de la vitesse :

$v = \sqrt{\frac{GM}{R}}$ (3)

Pendant une période T, l'exoplanète parcourt son orbite de longueur $2 \pi R$ à la vitesse v autour de l'étoile donc :  $v = \frac{2 \pi R}{T}$

Ainsi :   $T^{2} = \frac{4 \pi^{2}.R^{2}}{v^{2}}$ or, d'après (3), $v^{2} = \frac{GM}{R}$

d'où $T^{2} = \frac{4 \pi^{2}.R^{3}}{GM}$

Finalement, on obtient : $\frac{T^{2}}{R^{3}} = \frac{4 \pi^{2}}{GM}$

NB : On retrouve un énoncé de la 3ème loi de Képler, plus précis que celui de la question 21.

On a : $R = \sqrt[3]{\frac{GM\times T^{2}}{4 \pi^{2}}}$

avec $M = 0,82\times M_{0}$  et $M_{0} = 1,989\times 10^{30}$ kg.

$R = \sqrt[3]{\frac{6.67\times 10^{-11}\times 0.82\times 1,989\times 10^{30} \times (1.92\times 10^{5})^{2}}{4 \pi^{2}}}$ = $4.7\times 10^{9}$ m

Sachant que 1 U.A = $1,50\times 10^{8}$ km = $1,50\times 10^{11}$ m, on a :

R = $\frac{4.6659\times 10^{9}}{1,50\times 10^{11}}$ = $3.11\times 10^{-2}$ U.A.

L'étoile ayant des caractéristiques similaires à celle du Soleil (doc.2), on peut penser que sa zone d'habitabilité est voisine de celle du Soleil : elle serait donc comprise entre 0,726 U.A. et 1,52 U.A.

Comme R est beaucoup plus faible que cet intervalle, l'exoplanète n'est pas dans la zone d'habitabilité de l'étoile HD 189733, elle recevrait trop de puissance par mètre carré.